¿Qué características tienen en común el movimiento de un péndulo, el movimiento de un pistón y el movimiento de una onda?



MAPA CONCEPTUAL



INTRODUCCIÓN

Las funciones trigonométricas son estudiadas en los grado de educación media del sistema escolar colombiano, al igual que la mayoría del conocimiento se entrega al estudiante de una manera aislada, separada de un contexto, y resulta la pregunta reincidente, ¿eso para qué sirve?, a través de un problema de manejo de información, se pude evidenciar algunas de las aplicaciones y posiblemente fundamentar la necesidad de realizar un manejo apropiado de dichas funciones en la asignatura de trigonometría.

Se pretende responder a la pregunta: ¿Qué características tienen en común el movimiento de un péndulo, el movimiento de un pistón y el movimiento de una onda?

Se puede empezar con conocer algo de estos elementos y sus movimientos: el péndulo, el Pistón y las ondas

PÉNDULO

El estudio de los péndulos, hace una diferenciación entre el péndulo simple y el péndulo físico:

Péndulo ideal, simple o matemático: Se denomina así a todo cuerpo de masa (m) (de pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible de longitud (l) y sin peso. Estas dos últimas condiciones no son reales sino ideales; este supuesto facilita el estudio inicial del péndulo.

Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos.

Cuando el péndulo simple es separado a cualquiera de sus lados, a una posición θ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar, movimiento a uno y otro lado de la posición de equilibrio, debido a la fuerza de gravedad y la inercia. El peso de su masa se puede descomponer para reconocer su función al restaurar el péndulo a su posición inicial con una de sus componentes (mg.Senθ), y al mantener la tensión de la cuerda con la otra componente (mg.Cosθ). En virtud de la conservación de la energía y de la inercia, el péndulo no solo alcanza su posición de equilibrio, sino que llega hasta una posición simétrica desde donde es liberado.

La fuerza que actúa sobre la masa es variable (mg.senθ), proporcional al desplazamiento y dirigida hacia un centro, lo que hace que la fuerza y el desplazamiento tenga la misma dirección pero sentido opuesto. Por estas circunstancias, la masa es acelerada en su trayectoria con magnitud y dirección variable, siendo máxima la aceleración en los extremos y cero cuando pasa por la posición de equilibrio, de igual manera su velocidad cambia, siendo máxima en la posición de equilibrio y cero en los extremos, estas características obedecen al movimiento denominado Movimiento Armónico Simple MAS.

EL PISTÓN

Se denomina pistón a uno de los elementos básicos del motor de combustión interna. Se trata de un émbolo que se ajusta al interior de las paredes del cilindro mediante aros flexibles llamados segmentos o anillos. Efectúa un movimiento alternativo, obligando al fluido que ocupa el cilindro a modificar su presión y volumen o transformando en movimiento el cambio de presión y volumen del fluido.

A través de la articulación de biela y cigüeñal, su movimiento alternativo se transforma en rotativo en este último.

Tiene tres importantes misiones: comprime la mezcla, transmite la fuerza de las explosiones que provocan su movimiento de vaivén al cigüeñal a través de la biela, e impide que los gases quemados tras la combustión puedan filtrarse hacia el cárter. Por lo general son de aleaciones especiales de aluminio, para conseguir ligereza, dureza y buena conductividad térmica, ya que deben resistir altas presiones, elevadas temperaturas y están sometidos a un gran desgaste por fricción. Los pistones son de una pieza, y se pueden dividir en la cabeza, parte que soporta directamente el empuje de los gases tras la combustión, y la falda o cuerpo, que es la parte inferior, encargada de mantener al pistón recto en el interior del cilindro. Para que el acoplamiento entre pistón y paredes del cilindro sea adecuado, la falda se diseña ligeramente ovalada y cónica. Esta forma, en frío, se transforma en un cilindro casi perfecto una vez que se ha dilatado debido a la temperatura. Su cometido le obliga a encajar perfectamente en el interior del cilindro por el que se desplaza en movimiento alternativo.

El sistema biela-manivela de una máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplaza a lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela, articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. El pie de biela está articulado en una pieza denominada patín solidario con el pistón que se desplaza entre dos guías. El pistón describe un movimiento oscilatorio que  no es armónico simple, aunque se puede aproximar bastante a éste.

De esta forma el sistema Biela Manivela, Se emplea para transformar un movimiento rectilíneo alternativo en circular, o viceversa, siendo por tanto un mecanismo reversible.

El cigüeñal Consiste en una serie de mecanismos biela-manivela, que funcionan de forma simultánea. Con él se consigue una transmisión de potencia más uniforme, ya que se eliminan los puntos muertos.

Mientras un extremo de la manivela realiza un movimiento que puede ser aproximadamente circular uniforme, el otro extremo realiza un movimiento lineal, que alterna, obligando al pistón a moverse a uno y otro lado de un punto, sujeto a una fuerza dirigida hacia un centro, opuesta a su desplazamiento, acelerando el pistón cambiando tanto su  magnitud como dirección, siendo máxima en los extremos y mínima en el centro, así como su velocidad, teniendo valores mínimos en  los extremos y máximos en el centro; con movimiento que se puede aproximar mucho al Movimiento Armónico Simple MAS.

LAS ONDAS

La onda es una perturbación de alguna propiedad de un medio, (densidad, presión, campo) que se propaga en un medio elástico o en el vacío, transportando energía, originando un movimiento ondulatorio. Las ondas que se propagan en el vacío de denominan electromagnéticas, como las ondas de luz o las de radio; mientras que las que requieren un medio se llaman mecánicas, como las de sonido, las producidas en el agua o en una cuerda.

En el movimiento ondulatorio es importante diferenciar entre el movimiento de la onda y el movimiento de las partículas en que se propaga, cuando la onda es mecánica, o las variaciones de los campos cuando es electromagnética. La onda viaja con velocidad constante, dependiendo de la elasticidad del medio, pero las partículas, no sufren desplazamiento, las partículas en el caso de ondas en el agua, tienen un movimiento vertical, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, la onda más sencilla es el armónico, en la cual encontramos una posición máxima o máxima distancia a la posición de equilibrio, llamada amplitud; y unas variaciones en la aceleración que es dirigida en todo momento hacia el punto de equilibrio, bajo fuerzas restauradoras en los medios elásticos, que varían en magnitud y dirección, siendo máxima en los extremos y mínima en el punto de equilibrio, y una  velocidad que también cambia con el tiempo, de acuerdo a un Movimiento Armónico Simple MAS.

RECONOCER

De esta forma nuestra pregunta, parece empezar a tener respuesta, ¿Qué características tienen en común el movimiento de un péndulo, el movimiento de un pistón y el movimiento de una onda?

El movimiento de una un péndulo, un pistón y una onda, tienen en común el Movimiento Armónico Simple MAS.

Pero ¿cuáles son las características de dicho movimiento?

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S.

Para analizar el  Movimiento Armónico Simple se deben reconocer y diferenciar otros movimientos:

·         Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.

·         Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.

·         Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

·         Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.



Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.

Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.

La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x.

El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos.

La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.

El Movimiento Armónico simple, entonces se caracteriza por:

•  Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.
• La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.
• El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.
• Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

La descripción cinemática de un movimiento, se da a través de la posición, la velocidad y la aceleración en cualquier instante de tiempo, en el movimiento armónico simple, cuando La partícula que describe el movimiento, a lo largo del eje X su posición x está modelada por la función: x=A·sen(ωt+φ)

Donde

• A es la amplitud.
• w la frecuencia angular.
• w t+j la fase.
• j la fase inicial.

Expresión que también cumple con las características de un M.A.S. :

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .  P=2π/ω

 Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v(t)=VmaxCos(w t+j)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a(t)=-AmaxSen(w t+j)

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sen(w t+j )

Conociendo la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ en el instante t=0.

x₀=A·senj 
v₀=Aw·cosj

se determinan la amplitud A y la fase inicial φ